今天，和大家聊一个非常特别，也非常有意义的讨论议题：大学教材。
花友们会问：我娃还小，为啥跟我讲这个？两个原因：
第一，这和孩子的英语学习、教育道路选择、职业前途，还是高度相关的。或者说，你准备让娃将来去哪儿上大学？
第二，大学教材如此，那么中小学教材又是如何？这场讨论也许给我们启发：孩子遇到学习困难，尤其是数学方面的，也许不是孩子的问题，而是和教材有关。这么想，解决思路也许就不一样了。
俗话说“人无远虑、必有近忧”，今天咱们就来早早“忧”一回。
1.
“为什么我会感觉中国大学教材很烂？”
这是一个知乎的热门问题，快过年那会儿提的，几乎能上热搜🔥：
这一问，各路号称985毕业的网友们都流出了“委屈的眼泪”：哦，原来不是我当年“智障”，而是教材有问题啊，现在终于可以释怀了！
一个清华学生更是给出了爽利的回答，首先告诉大家：you are not alone ...
不仅仅是你觉得，实际上是绝大部分人都觉得。
我大学时，真的是想狠狠的吐槽，甚至是咒骂，国内的大学理科、工科的教材。我不能用太过激的言语，但还是要用四个字 —— 误人子弟
想要吐槽的是整个国内的理工科大学教材，尤其是微积分、物理学的教材。
看了太多欧美的优秀理工科教材，比如下面这些微积分教材，随便挑一个出来都可以吊打国内的教材。
我认为国内部分教材的突出缺点，是以下两点：
1、 该详细的地方不详细，该讲明白的地方，就不讲明白，只重视结果，不重视过程。
举个微积分例子，下面是国内国外教材讲牛莱公式，诸君可以对比。
这是国内某教材介绍牛顿莱布尼兹公式的内容 ...
下面👇，则是普林斯顿大学微积分介绍牛顿莱布尼茨公式的内容 ...
明显可以看出，普林斯顿这套大学教材不厌其烦，每一个细节认真给学生讲解，一点都不着急。
反观国内教材，生怕被人看懂了，能减则减，三步并作两步，两步并作一步，搞得人云里雾里，不知所云。
2、编书的老师好像普遍没有学过逻辑学，思路都是混乱的。比如微积分这样的基础学科，先讲什么，后讲什么，从什么前提，得出什么推论，哪些步骤是不能省的，这些都没有认真思考过。（据说很多教材其实是教授让研究生代写的）
而在看大学理科教材的过程中，我还有一个特别大的体会是，国外的教材非常注重思想上慢慢的渗透和改变。
在给你认真讲一个正式的内容之前，一定会讲一大堆看起来没用的东西，但是这些看起来没用的内容，往往都是能够帮助你，深入理解内在本质的东西。
我们经常感慨于近代的物理化学，乃至天文地理的定理和公式，罕见中国人的名字。其实究其本质，是我们太注重结果，而不注重过程，过程实际上是非常非常重要的。
估计这位清华理科生说到了大家的心坎里。连我看了，回想当年大学里看微积分教材如读天书的时光，也能感同身受。
我大致浏览了上百条吐槽，其实核心抱怨就是一条：和外国教材相比，中国教材太不容易懂。
比如，各学科的大学入门教材，把基本道理讲通讲懂是至关重要的。而多少人没学上去，就是卡在这一关。这位网友毕业20年后，想到这还是一腔愤怒：
“这么基础的学科，用这么垃圾的教材，这是喂大家吃屎“
接着说，自己是看了国外教材作者的公开课，又买了原版后，才算是把线性代数这门课给读通了。
为什么会出现这种情况？总结一下，中外教材在这些方面有所差异：
1、怎么把学生带入一门学科？
2、让学生理解为什么学一门学科，是否重要？
线性代数（linear algebra）是大数据、人工智能领域（ai）的关键工具。而很多人抱怨，学了线代的国内教材后，根本不知道学了矢量和矩阵能干嘛用。
3、背公式，还是探索公式怎么来的，背后原理是什么？
4、重刷题，还是重理解？
国外教材的一个特点，那就是注重引导，告诉你一个知识点的来龙去脉。
国内教材没把微积分讲清楚，遭到一轮轮“攻击”。网友说：欧洲从拿破仑时代就开始要求掌握微积分了，可是我们的大学到现在还是知其然而不知其所以然：
他建议：一门学科，会刷题和真的理解应用完全是两个层面的事 ...真的想搞科学，还是好好的学学外语 ... 还痛心疾首地说：中文没有科学。
5、教材有没有必要编得好看、有趣？
再举一些例子。理工科之外，大学里的社会科学，比如经济学科也是“吐槽”重灾区。其实，现代经济学，整套概念都是“舶来品”，不如看原版，或者中文译本。
如果能在讲解上多一些故事性、可视化，那就“封神”了。
6、教材要不要给出大量例子、例题？
国内教材，常常全文字讲解，例证少，例题少 ...
有网友则举了这样一个例子，说自己就是跟着国外教材的例题一步步理解了微积分的。
7、教材要不要“啰哩啰嗦”？
留学过的朋友都知道，国外大学教材都是砖头一样厚实的存在；相比之下，国内教材轻巧多了。
8、教材要不要在细微处给学生关怀、帮助？
9、教材是否反映文明程度？
网友甚至把讨论上升到文明与科学关系的层面：教材问题只是表象，核心是文明问题。
不过这位网友也表示，指出问题，最终目的还是期盼改进。这句话也是温暖人心：这里是我们的家，我们盼着她更好。
总而言之，国内大学教材，对普通学生来说是比较不友好的。直接后果，让很多人学不上去，学不明白。
大学教材是这样，中小学教材是不是也有类似的问题呢？下面我们就来讲讲这个问题，并且给出一些解决思路。
2.
中小学教材是否存在类似问题？
先说结论：国内中小学教材，对孩子们来说，也比较不容易懂。
这方面，咱们做过不少分析，比如语文、科学：
今天，我们就拿小学数学来“说事儿”。简单对照人教版小学和美国数学教材（go math），就能发现美国教材对孩子是手把手、事无巨细的“保姆式”教学，而中国教材抽象、简略，对孩子的理解能力要求较高。
这一点，和大学教材的问题是差不多的。
顺便插播一下：
美国孩子的数学到底好不好？
每次说到美国数学这个问题，都有很多朋友马上产生疑惑：美国人数学那么差，为啥还拿它来说事？
这个问题，我们谈论过多次。大家可以复习这篇：可以说是一个比较通俗易懂的回答。
文章的主要观点，很多学数学的人（包括我自己），也比较赞成：
美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育，这种低要求的直接结果就是，美帝99%的学生的数学都停留在生活勉强可以自理的水平上。
同时，美国给予热爱数学的学生高水平的数学教育。比如，小学有天才班，在高中会有ap课程（ advanced placement ），学到微积分、数理统计这些高等数学内容。
关于中美国数学教育理念的差异，中科院博士生导师胡卫平教授也曾做过研究和分析：
这种教育理念的差距一方面体现为中国学生超强且牢固的技能，另一方面也使得他们在“提出问题、分析问题、设计整体pg电子试玩的解决方案”上不如英美学生（中国学生提出问题的能力明显低于解决问题的能力）。
除解决问题一项能力之外，中国学生在发现问题能力、想象能力、实验设计能力、技术开发能力、产品改进能力和应用能力的得分都低于英美学生。
再分享一个生活中的例子。
教美学者黄全愈的儿子转学到美国后，带回来的数学作业看上去比较简单，于是这位父亲向学校“抱怨”，儿子的老师因此专门回了他一封信，信中有这么一段，对美国数学的教育理念有非常到位的阐述：
数学不是算术。公式告诉你，做什么，怎么做，我们充其量像个计算器。要真正理解为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。
我们更强调的是孩子对那些隐藏在数字后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够使用他们所学的东西进行交流，而不是对算术法则的记忆。比如，我们会让孩子在记住乘除法则之前已能理解乘除法的实际意义。
我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，让他们学会思考，建立自信，从而去珍视数学。kk（作者儿子）当然是一个具有计算技巧的优秀学生，然而，算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里，会运用许多教学活动来挑战他的思维，从而也对他本身形成一种挑战。
美国小学数学课
按照美国数学课标，一个真正数学好的孩子应该具备什么样的能力呢？
遇到一个数学问题时，数学好的学生首先会问自己：
（1）这个问题包含的意义是什么（meaning to a problem），从而寻找解决问题的入口（entry point）；
（2）他们会分析问题中的给定条件（givens）、约束（constraints）、关系（relationships）、目标（goals）；
（3）他们会构建解决问题的路径（pathway），而不是马上跳进去直接答题。
（4）而且，数学好的学生能自如地用方程式、语言、图表去描述或解决各种数学问题。
（5）数学好的学生，还有一个重要的特征，他们尊重数学，从心里认同数学是理性的、有用的、值得努力去学的一门学科（sensible, useful and worthwhile) 。
-- 来源：ccss课标
这样的理念，体现在教材上，就是鼓励有兴趣的孩子学透数学，帮助天资一般的孩子去一步步理解数学。
结果是，美国小学数学教材就变成了一本本大部头。
打开数学课本，整体上就是这样的感受 ...
相比之下，中国数学课本体量小得多。大量的功夫都要花在课外的辅导班、教辅上。
那么中美教材在编写上到底有啥区别呢？
还是拿具体例子来看。比如，每个小朋友都要学的乘法。
其实，让孩子理解“乘”的概念，其实完全不是我们大人想象的那么简单。
“乘法口诀表”，一言难尽 ...
先来说说我们的独有发明——乘法口诀表。（熟记乘法口诀，是咱们二年级数学教材里的一大主题。）
这个绝对是一个充满智慧的创造，相信绝大部分小朋友学习乘法，都是从这张口诀表开始的。
这张神奇的口诀表，大大提升了我们中国小朋友计算乘法的速度。
很多小朋友在不知道乘法是什么的时候，嘴里已经会背好多的乘法口诀了。
乘法口诀还和口语、故事连在了一起，也许又是“数学语文化“的一个体现。比如”不管三七二十一“，比如孙悟空去西天取经要历经”九九八十一难“。
但是乘法口诀真的这么好背吗？
这个视频，一定要看看 ...某种程度上，它体现了中国孩子在数学启蒙阶段的共同“困境”。
可怜可爱又让人心疼，大家肯定在想，为啥这么简单的一句“3×5=15”，小姑娘就是背不下来呢？
其实，对这个小朋友来说，这根本不是一个乘法计算题，也不是一个数学问题，而是一个记忆与背诵问题。
此时她完全不理解“乘”，因此在她脑海里乘法口诀表里的数字就是一串没有规律的乱码，和下面这张图没有区别。
数学靠“背”，有用吗？
我相信大家一定有自己的答案。数学不是算数，计算也不可能只靠记忆。
背乘法口诀，可以让计算乘法的速度变快。中国小朋友的乘法计算速度一定是最快的，但是这里有一个大问题 -- 对乘法的意义不见得真正理解。
下图是一个孩子的错题，显然没搞清楚“乘、除”概念。看来他并没有理解“乘”，而不理解“乘”，就不会理解“除”；就像不理解“加”，就不会理解“减”一样。数学真是一门环环相扣、漏一步错百步的学科。
相比之下，美国的小朋友不可能背出“one one equal one”这样的口诀，所以他们只能慢悠悠地去了解乘法。中国二年级上学期就开始表内乘法了，美国三年级才开始。
先来看看中国人教版的数学书（二年级上册）是怎么去引入乘法的吧！
可以看到，上面三个对加法总结的例子里，都用了“几个几”的说法。
但画风很快一转，马上写出结论：2x7读作2乘7（而不是2个7，或7个2）。“乘”虽然出现了，但它只作为一种“读法”，其意义没有进一步解释。
不仅如此，这个地方还立刻引入了交换的概念，2x7=14，7x2=14。你是小朋友的话，你会不会晕？
引入之后，教材就花不少篇幅让孩子熟记“乘法表“。这张图里有好多元素，不要说孩子，大人也看得眼花缭乱。
五组小狗熊
五五连加
五组骰子
十个乘式（换乘）
五个口诀 ...
各种方式，让孩子熟记乘法表 ...
目的是让孩子记住规律，从而掌握乘法。
再来看，美国孩子是怎么学“乘”的？
乘这个字对于全世界的小朋友来说，其实都是不容易理解的。美国小学数学教材的讲解方法要循序渐进的多。
首先，用“组 groups of” 的概念，说明“乘”
“4乘2”，严格上来说是4x2这个算式的读法。
4组“2”，意思是，“2个”为一组，一共4组，表达的是乘法的含义。
别看在语言用词上只是小小的一个改变，但它却可以立刻让孩子感受到乘法的内涵。就是这么神奇!
中国的“4个2”也有“4组2”的意思，但远远不够具象，没有大量借助模型加深孩子理解。
相比之下，当数字变大、计算变复杂时，美国教材的这种简捷模型，表现力就比较强。孩子看到4*3，眼前出现这样“4组3”的场景 ...
这比数插图中的小人要灵活、清晰的多。
再用加法，帮孩子理解“乘法的含义”
孩子学乘法之前，已经对加法很熟悉了。所以，教乘法，还是从加法做起。
这个过程，中国也走，但走得很快，而且视觉化、模型化做得不够细致。这是美国做法。通过图像模型的方式，先引导孩子们算3 3 3 3（3为一组，一共4组）
然后再引导小朋友去探索“another way”，另一种算法也就是乘法：3 3 3 3=4x3
这时乘法和加法的关系就通过图像建立起来了。
这样做，在小朋友的脑子里，乘法就不再是一个抽象的概念，而是从一组组相同数量的图形，到一串相等数字的加法，最后变成一个乘法算式。
引入模型，解释“乘法交换律”
在乘法中，有一个非常重要的知识点，交换两个因数（factors）的位置，最终的乘积是不变的。但如果只用这样的一句话，或者简单的图示解释，这个肯定很难让小朋友清楚。
中国数学书，画了三组气球，然后就写了3×5=15和5×3=15。然而，小朋友在这幅图中完全不能感受出“5组3个”这样的概念，这种讲解不太到位。
而美国数学用的“矩阵式”模型，就容易理解的多。（前文说大学生们搞不清楚矩阵有啥用，如果小时候这么学，长大就明白得很透彻了）
下面这张图，2行5列，可以横着数，那就是2组5，也可以竖着数，就是5组2；但不管是横着还是竖着，都是这10个，非常清晰地表示出了2×5=5×2这个概念。
举一反三，脑子里有这样的图，就非常容易理解乘法交换律了。
如果这个小姑娘的父母当时知道可以这么带娃理解乘法，孩子会少掉多少痛苦。
3.
我们可以怎么做？
讲了这么多，回到我们想解决的问题：如果孩子学数学遇到困难怎么办？
这些困难，做家长的耳熟能详：
娃很难理解一些在你看来十分简单的数学概念，你跟他怎么讲，他也不明白...
数学题做了一道又一道，还是不断有错...
不知道数学有什么用，不喜欢数学，没有学习动力...
觉得自己没有数学天分，对数学躲着走...
数学成绩不错，但还是感觉没太学懂... 等等
这里，我会建议你另辟蹊径，给孩子找一些国外数学教材、教辅来看。美国数学、新加坡数学，在解决孩子数学理解困难方面，都有一些非常好用的资源。
比如美国数学，上述 go math 这本是经典教材 ...
其中包含非常详细的带孩子理解基本数学概念的步骤，在数学启蒙阶段尤其有用。
但 go math 这些数学教科书体量很大，而且国内也脱销了，所以其实可以用一些简单明了的原版练习册（书中英文一般都比较简单），帮助获得和国内数学教育不太一样的学习思路。
比如，skill sharpeners 是美国1-6年级普及率非常高的“国民教辅”，对标的也是和 go math 一样的ccss课标，选其中的数学分册，就能快速 get 到新思路。
这些年，新加坡数学教学思路也备受称赞。特点就和新加坡这个国家一样，中西合璧，没有中国数学那么“简单粗暴”，也没有美国数学那样“细致入微”。
举个很有趣的例子，问：三个苹果和五个橘子相加，结果是什么？
中国直接写数字 5 3 =8；
美国会画出三个苹果，再画出5个橘子，然后拿出几个橘子形状的小塑料块，和几个苹果形状的小塑料块，解释橘子和苹果都是水果的概念（这样相加才有意义），再得出结论。
新加坡数学中会把苹果和橘子用同样的方块来表示， 由于是用同样的模块来表达，在一定成程度上抽象化了具体的橘子苹果，把其仅仅作为一个存在的实体单元，让学生不用分心于“苹果和橘子并不是一种水果”的困扰。
可以说，新加坡数学架起了“中国数学”和“美国数学”之间的桥梁。
新加坡数学书里，targeting math 算是一个主流。
tm教材主编eric chan博士是新加坡著名的数学教育专家
这个系列，针对1-6年级，有教材也有练习册，新加坡有将近一半小学在用，尤其是比较头部的学校，比如新加坡南洋小学、新加坡政府小学；也是国内多所国际学校和双语学校的指定数学教材。
此外，一些在线数学program，比如数学启蒙阶段备受称赞的 “to do math 嘟嘟数学” ...
大名鼎鼎的可汗学院（有中文版） ... 网站和app上会提供大量教学视频，基本都短小精悍，1-5分钟讲1个数学知识点；如果孩子哪个点搞不懂，针对性地去看看会很管用。
比如，选择小学三年级，孩子们在这一阶段需要学习的数学知识就在这里了：
此外，beast academy online（野兽学院），一套在美国广受好评的“超纲”在线小学数学program
这是针对美国学有余力的学生开发的在线program；如果觉得想用更有挑战的素材培养孩子的数学思维，这是一个不错的选择。
aops对标数学竞赛的课程体系
如果你觉得课本、练习册都太重，小花生还做过两份用可视化模型帮助孩子理解数学概念的 worksheets，一份针对一年级、一份针对三年级，或许也能帮上忙：
总之，当孩子数学学习有困难时，我们也许应该提醒自己有两种可能：
问题不在孩子身上，而是我们的数学教材、甚至学校里的教学方法有待提高。所以，不要责怪孩子，更不要觉得孩子不是“这块料”。
解决的方法，未必是上培训班，或是大量做题。而是也像那些大学生一样，找一些原版的，或者国外引进的教学资源，带着孩子走一遍，也许就能茅塞顿开、一通百通。
相信我，孩子会开始理解数学。而理解，是学习的王道，对所有学科而言，都是如此。
新学期，我们共勉。
- the end -
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