今天给大家介绍的是来自新加坡sap出版社的数学应用题练习册，101 challenging maths word problems《101道挑战应用题》，共6册，对应小学1~6年级。
新加坡数学的一大特点是广泛采用著名的“具象化模型（cpa教学法）”讲解数学概念和解题思路，极大地降低了孩子理解抽象数学概念的难度。借助新加坡数学的学习方式，可以补上我们孩子普遍欠缺的 “讲解、理解数学概念和解题思路”这一课。
这张图用一个简单的例子体现了新加坡数学的“三步教学法”，也叫“cpa教学法”。从具象化的生活实例出发（objects），建立形象化的模型（picture），然后再抽象到数字、符号、公式、运算（abstract）。
关于新加坡数学的教材和练习册，我们介绍过不少。而今天介绍的这套书，是针对“应用题”的专项训练。为什么孩子需要练习数学应用题？有位专家学者这样解释：
解答应用题一直是许多孩子做数学题的“心头大患”。它不像选择题、计算题啥的，分值不高，有时甚至还可以蒙一下。但应用题不一样，不会就是不会，一步想岔了，后面的解题步骤就全错了。而且应用题的分值往往比较高，一步做错丢分很大！
应用题是对孩子的综合检测：既要综合应用小学数学中的概念性质、法则、公式、数量关系和解题方法等zui基本的知识，还要具有分析、综合、判断、推理的能力。
这套书匹配新加坡教育部数学大纲，体现了新加坡数学的核心理念。在内容覆盖和布局编排上，也回避了“题海战术”“知识点连贯性差”的短板，具体体现在：
内容难度螺旋形上升，爬楼式稳步前进，不会忘东忘西
同一知识点也用不同题型训练，拒绝“题海战术”
知识点和场景应用覆盖全面，搞定小学数学应用题
这套书一共分为六个年级，匹配国内学校1-6年级学制。
一、“中西合璧”的新加坡数学，其实挺牛
数学好的过来人大多知道，数学这门学科，在学习方法上比其他科目的要求高得多，不能靠蛮力硬拼。高中毕业前，孩子要学12年数学，如果方法不对，将是非常痛苦而漫长的一条路。
痛苦的原因，有资深数学老师总结了三点：
学校不够，家庭来补。新加坡数学，就是我们可以借助的一个工具。
1、新加坡数学，其实还挺牛！
世界范围内，新加坡的数学、科学教育算是“厉害级”的。
根据独立的教育研究机构“国际教育成就评价协会”（iea）公布的“国际数学和科学评测”（timss）结果，新加坡中小学生在数学和科学科目的测试中排名在全球都名列前矛，经常处于第一、第二的位置。
成绩一直这么好，使得新加坡的数学教学方法引起了全世界的兴趣（可汗学院还开了新加坡数学课）。目前，全世界已有超过40个国家及地区在采用新加坡数学教材。
全球数学教育，美国、新加坡、中国都很有代表性。三国数学教育有啥差异，有位一线老师这么总结，我感觉很形象！
中低年级的美国数学课程在动手实践， 探索方面较为注重，而在抽象原理方面没有更多的强调。在中国的数学学习中，对头脑计算非常重视 （mental practice），而西方教学更多地是调查探索（investigate）甚至试图把抽象化的过程以实际现象来表现，有时候会觉得本来很简单的抽象逻辑问题被复杂的具体化了。
在新加坡数学中，这两种不同文化下数学的学习得到了较好的平衡，新加坡数学要求对抽象概念的具体化表现，但是是模块化的表现。
比如问：三个苹果和五个橘子，一起是多少个水果？
中国直接写数字 5 3 =8；
美国会画出三个苹果，再画出5个橘子，然后拿出几个橘子形状的小塑料块，和几个苹果形状的小塑料块，解释橘子和苹果都是水果的概念（这样相加才有意义），再得出结论。
新加坡数学中会把苹果和橘子用同样的方块（模块）来表示， 这其中有画出模块的过程， 但是由于是用同样的模块来表达，在一定成程度上抽象化了具体的橘子苹果，把其仅仅作为一个存在的实体单元，让学生不用分心于“苹果和橘子并不是一种水果”的困扰， 而更注重了数学学科的数字逻辑的训练。
看来，新加坡数学真的是架起了“中国数学”和“美国数学”之间的桥梁。
2、比中国数学教育多了两步：cpa三步法，从具体走到抽象！
新加坡数学的学习内容和其它国家一样，数、加减乘除、代数、几何 ... 差别在于新加坡数学采用了 “建构式”的教学法或学习法 - “cpa教学法”，也叫“三步教学法”。
这种教学方法，由美国心理学家jerome bruner在上个世纪60年代zui先提出。他经过观察发现，小孩子学数学，经历三个阶段，认知效果zui好：
c - concrete 看到具体的事物
p - pictorial 把它用图形模块表达出来
a - abstract 再用数字、符号、公式进行抽象的总结
比起中国数学直接过度到第三步公式计算（2 1=3），新加坡数学的讲解过程多了第一、第二步。这样的过程看起来缓慢，但却能让学生们对数学的认知牢固得多。
在新加坡教数学逾10年之久的黄卫民老师说：
新加坡的数学体系是建构式的，建立在三个过程，其中除了我们以往在数学中接触zui多的第三步，即以规范的数学符号来解决问题（“abstract”）以外，前两个过程往往为人所忽略：
第一步是从自然界、真实世界里去获得数学（“concrete”）。孩子在小学阶段，或者刚刚初识数学元素时，首先是探究数学源自哪里，然后很自然地就搬到手上来运用。
第二步，他们会把手上这些自然的、混沌的数学现象，包括数字和概念，化成图形（"pictorial")。图形是很简单的，比如说把一个人化成一个方块，或者说一个人的年龄也可以具象化成方块，亦或者将三个橙子和三个苹果，化成不同颜色的方块。
比如，认6以上数字，先看6条鱼、7只鸡蛋、8个纽扣 ... 鱼、鸡蛋、纽扣都是生活中具体的事物（concrete），然后再抽象一些，用“小方块图形（模块）”来代替鱼、鸡蛋、纽扣 ...（pictorial），zui后再过度到抽象的数字公式表达。
这，就是很有效的“数感”启蒙！
3、通过“建模”解决问题，训练数学思维，很强大！
cpa教学法三步中的第二步pictorial - “图形建模 model drawing”，尤其是特色中的特色。
什么是数学模型法？大家点击放大看下面这张图，就能有初步感受。左边是模型解题法，右边是我们熟悉的方程式解题法 ...
小时候的应用题，用长大后学的“抽象”代数方程解很方便。但学方程之前，孩子完全可以用更加锻炼数学思维的“模型”法去解决。
看这个“玻璃球”例子，很能说明新加坡数学在训练数学思维上的思路，非常具有代表性 ...
两个小朋友，susan和ivy玩玻璃球，susan拥有的玻璃球数量是ivy的3倍，ivy又买了10个玻璃球后，她的数量变成susan的两倍，问她们原来各有几个玻璃球？
新加坡数学用“模型”法，教孩子的一种做法是：
第一步：画出一个单元格代表ivy的玻璃球数量，三个单元格代表susan的数量 ...
第二步，画出买了10个玻璃球之后的比例关系，susan没有变化，ivy是她的2倍。
第三步，统一标准量，ivy左侧和右侧，都要转化为统一的矩形格。
第四步，比较一下，ivy买了10个玻璃球之后，增加了5个小矩形格。
第五步，计算得出每个小矩形格代表的数量是2个。所以，susan原来有6个，ivy有2个。
这样一道题，虽然计算起来很简单，但是这个画图建模的思维过程其实一点都不简单。
新加坡的孩子从小学一二年级开始，就会接触到这种思维方法。因此，他们的解题思路，和我们真的不太一样 ...
用本周的这套sap101举例，比如来自一年级的这道"加法题"：
tom有18个橙子，mary有17个橙子，问他们共有几个橙子？
尽管题目简单，答案也提供了两种方法：
方法1：直接用图例展示，直观好理解；
方法2：用“拆整相加”法，培养数感，同时减小孩子面对复杂数字时的心里压力。
又比如同样来自一年级的这套题：
一个烧水壶的价格是78块，一个搅拌机比烧水壶贵22块，一个面包机的价格是搅拌机的一半，问这三样电器一共多少钱？
首先给出直观的建模图，然后是每一步运算的详细步骤，旁边还有计算方法。
可见新加坡数学zui大的特点，就是用图形模型代替抽象的数字和问题，让孩子们直观地理解数学概念和算式，而不是小小年纪就被动地接受冷冰冰的公式和定义，这不仅有利于培养孩子的数学思维，更是避免他们过早陷入对数学的无限焦虑。
这一点恰好符合了皮亚杰理论，小学生还处于认知发展的具体运算阶段，说白了就是形象思维发达而抽象逻辑思维还未形成。model drawing 所具有的形象性，不仅能解题，还提高了学生思维逻辑和解决问题的能力。
二、为什么用这套书练应用题？
这套sap 101 根据《新加坡数学大纲》编写，练习册共六本，分别对应1-6年级，每一册都包含101道数学应用题和详细解答。
上文我们说了新加坡数学的共同点，这套sap 101在内容和编排上还有这三个推荐理由：
1、难度螺旋形上升，不会忘东忘西，爬楼式稳步前进
这套sap 101内容难度上是螺旋形上升的，每一课都是爬楼式的学习稳步前进，避免忘东忘西的情况。
举个简单的例子，在book 2的练习中，已经出现了“货币”的主题。
不过这时候的货币是结合简单的四则运算来进行的，同时刚好巩固孩子在book 1中学到的知识内容。
接着关于“货币”的知识点，在book 3上又出现了一次，book 4上又出现了两次，每次难度逐渐提升。
book 3引入了小数和不同单位换算。
book 4引入分数。
这样安排，等于孩子每学一段时间就巩固一遍，基本学到第二次就能够举一反三，剩下的只要把特定的几种题型稍微查漏补缺一番就行了。
2、拒绝“题海战术”，相同知识点也用不同的题型来训练
同样一个知识点，绝不会反复停留在同一类题目，而是不断变化题型，递进难度，让“刷题”这件事变得高效。
就拿这套sap 101来说，1年级第1页的练习来说，3道题目都是为了练习“100以内加法”这个知识点，但类型不重复，难度有所递增。
第一题：
tom有18个橙子，mary有17个橙子，问他们共有几个橙子？
很直观，两个数字直接加起来就ok。
第二题：
peter有24张贴贴纸，jane比他多9张，问他们共有几张贴贴纸？
难度比第一题递增了一点点，不是简单地把两个数字加起来就完事，孩子需要多想一步。
第三题：
adam先生上午卖了24个鸡蛋，下午卖了10个，他手头还剩25个，问adam先生一开始有几个鸡蛋？
虽然难度和第二题差不多，但题型有了小变化，孩子又有了新的挑战。
三道题目下来，知识点巩固了，不同的题型也都能接触到。
3、知识点和场景应用覆盖全面，搞定小学数学应用题
应用题，考核的是数学知识点在各种场景下的应用。比如同样是“加法”这个知识点，如果是一个表达式“7 8”，孩子很容易给出答案。但放到应用题，它可能会“隐藏”在各种场景中，难度就增大了：
这套书就是训练孩子搞定各种场景的应用题。并且它涉及小学阶段所有的数学知识点：四则运算，长度、重量、金钱、时间问题，小数、分数、栅栏包围问题，速率、百分数、平面几何问题等等。按照年级来划分，将每个年级需要掌握的数学知识点和对应的应用场景融合在一起。
我们来浏览一下每个年级的大致内容：
一年级，需要掌握的是四则运算的综合运用能力，练习册就围绕这部分内容展开。下图是1年级的练习目录，运算的数字范围是100以内。
一年级学习的知识点其实就是这三个：
a. 单独的加减乘除计算
b. 两种运算的融合
c. 有两步提问的应用题
从单独的加减乘除开始。先是加法练习：
接着是单个的减法应用题。
接下来还有单个的乘除法应用题。然后是两种运算的融合。
比如下面两题就运用到“加法”和“减法”两种运算解题。
而解下面这些题则要运用“减法”和“乘法”。
到后面是有两步提问的应用题，第一个问题一般比较简单，有时候第一个问题还是第二个问题解题的基础。这样就能给孩子一个循序渐进的解题思路。
比如下面第100题，得先计算出碗的价格，然后才能计算出碗和盘子一起的价格，这就是分步考虑。
二年级，计算的数字范围扩大到1000以内，并且应用题开始细分场景。一共细分了6个不同的具体场景：长度、质量、分数、体积、钱和时间。
这是关于“重量”的练习题。
这是分数应用题，有的题目直接显示分数，有的要通过阅读理解自己算出来。
这是关于“体积”的计算，要求算出3个集装箱中有多少升洗涤剂。
三年级，应用题开始出现四则运算的综合应用，出现面积和周长等几何问题。
解应用题需要综合运用四则运算。
开始有计算面积周长的应用题。
四年级，应用题的细分场景趋于集中，难度加深。
这些是四年级的分数应用题。
五年级，应用题比较侧重于测量、比例、几何，以及它们的结合。
这是比例和几何结合的问题。
这是比例和分数结合的问题。
5年级几何题的比例增大。
六年级，应用题会出现距离、速度和时间融合在一起的题目。
来看一些例子：
可见，每个年级每个知识点会在不同场景、不同类型和难度的应用题型中进行训练巩固，掌握了这些类型的题目，小学阶段的应用题对孩子来说就是小菜一碟了。
三、做题时还积累英语数学表达
新加坡数学的名气非常大，但它是英文原版，这对原版娃来说不是什么问题，但英语普娃能否搞得定？
我们认为，只要有一定英文基础，题目能看得懂七八成，这套练习册是可以用下来的。
1、数学题里的英语表述其实不难
很多题目，可能含有一些看不懂的单词，但完全不影响答题。
比如下面这道题目里，“paperclips”是什么孩子可能不知道，但只要能猜到是“一样东西”就ok。
这就跟阅读理解一样，不需要每个单词都认识，但根据上下文，猜个大概的能力需要有。
2、帮助积累英语的数学表达
在练习过程中，孩子会学到很多关键词的表达，比如刷过下面这道题后，孩子对“in the end”,“at first”这些常用表达的意义理解就会深刻很多。
也能慢慢地积累更多的词汇，比如可以从下面这道题中学会“throw away”、“rotten”等单词、词组。
尤其是将来有出国留学打算的孩子，英语原版习题练习很有必要，数学考试对咱中国孩子来说不算难点，但往往容易在题目理解上丢分。
一开始接触全英文的各科知识，的确回很大的挑战，但反过来，这个“坎”同样促进孩子英语水平的迅速提高。
四、适合年龄&分级内页
1、这套书适合小学阶段的孩子使用
这套新加坡数学应用题练习册《101 challenging maths word problems》（101道挑战应用题），共6册，对应小学1~6年级。
大家在选购时可以参照文末的内页，比较难度来购买。
2、比题目还要厚的答案部分
每一本书，答案的部分比题目还要厚。下图的左部分是题目，右部分是答案。
因为每一道题目，书中都给出了图文并茂、建模画图、分步解答、甚至有多种解法的答案，非常详尽，让孩子既能理解学透，还能举一反三。
3、分册内页展示
一年级
题目样页：
答案样页：
二年级
题目样页：
答案样页：
三年级
题目样页：
答案样页：
四年级
题目样页：
答案样页：
五年级
题目样页：
答案样页：
六年级
题目样页：
答案样页：
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