中小学数学为什么是这样的？（下，完） -pg电子试玩

终于进入最后一篇了，写完了可以休息半个月了：）写这些东西，大部分不用查资料，但也要花费不少精力去找合适的图片和百科链接供参考。考虑到篇幅有很多内容不得不忍痛割爱了。如果看完这最后一篇，您觉得有什么重大遗漏的，请予以指出，我会尽量补充。

本完结篇最重要的内容在末尾的结束语中：）

排列组合与概率统计初步

排列组合问题在中学数学中初步涉及，而且也是数学竞赛题的常客。这类问题很早就被数学家关注，产生了很多有趣的结论，比如抽屉原理（），但凡搞过数学竞赛的几乎没有不知道的。中学数学中涉及的是古典排列组合问题（可以称为古典组合数学），并在此基础上涉及了古典概率论的内容。古典概率论，大体上就是计算符合条件的排列组合数目，除以样本空间，得出概率。

古典组合数学中的很多问题很有趣，比如拿错帽问题，若干人的帽子全打乱随机拿，则全拿错的概率是多少？这个问题的解决要用到经典的容斥原理（），也是集合论中的基本定理，其简单形式也常常被中小学数学竞赛光顾，比如问100以内既不能被2整除又不能被3整除也不能被5整除的自然数有多少个（下图可以辅助你解答这个问题，试试看）。

在高等数学尤其是微积分出现后，组合数学问题的求解方式发生了很大变化，产生了大量新的数学工具。试看从组合数学教材中摘录的一段解题过程:

这道题像是中学数学竞赛题，但解答过程对中学生而言却是天书。这里面用到了教材里前面大量篇幅讨论的生成函数理论，还有高数中指数函数的泰勒展开。用这样的理论去对付中学竞赛题，基本上就是套套公式完成计算，砍瓜切菜般容易，一个下午可以刷几十上百道同等难度的还不带喘气（当然套对公式还是需要相当数学功底的）。不过这种牛刀杀鸡的情形并不一定总是成立。比如学习了数论的高级内容后再看中学竞赛中的数论题，往往还是无从下手，数论的研究没有像组合数学那样提供了很多通用pg电子试玩的解决方案。

大学里的概率论，主要是围绕微积分进行，研究连续函数的密度与分布情形。再往上有随机过程论，研究随时间分布的概率函数，其典型应用有物理学中的布朗运动、金融学中的债券价格变化、时间序列分析等。下围棋的知道单片劫的价值有1/3目，这个有些不好理解，除了直观上的手数分析（双方共三手棋价值一目）外，我曾用随机过程论中的转移矩阵理论列方程求出了1/3，回头看这其实就是三手棋一目的一种数学表达形式。

统计或数理统计，是我最喜欢的数学分支之一，在约翰霍普金斯曾花费大量时间学习。生活中的应用就不说了，只举物理学实验数据的处理。比如欧姆定律，做实验得到很多数据，绘制在电压和电流强度为轴的坐标系上。肉眼观察觉得这些数据在一条直线上，两者成正比（比值就是电阻），但看着像成正比并不是精确的数学语言，必须有一种严格的数据拟合方法。高斯的最小二乘法（），就是为解决线性拟合而发明，也即线性规约（linear regression）。除了线性，还有非线性的，比如二次的三次的乃至高次的。统计学的原理在概率论的基础上构建，认为实际测量值由真实值加上误差噪声（往往是均值为0的正态分布）组合而成，统计的目的就是从实际值倒推真实值，并且给出精确定量分析，比如置信度即可靠程度，置信区间（有一定概率比如95%落在该区间内），假设检验（比如丢一枚硬币很多次，根据次数判断该硬币是否两面几率相同），等等。

线性拟合

中心极限定理（）。大量任意分布的同随机变量的均值经标准化后，其分布均收敛于正态分布。这里并不限定随机变量的分布形式，只要均值收敛即可（存在均值不收敛即无穷大的随机变量）。该定理奠定了正态分布在统计学中的至关重要地位，也是数理统计学的理论基础。

统计学的发展也与计算能力的发展密切相关。以前很多统计方法由于计算量太大没有应用价值，而计算机发明后却可以大规模应用。近年来统计学与计算机科学中的人工智能、数据挖掘、机器学习等领域紧密结合，产生了很多突破性成果。早些年人工智能中的神经网络理论不是热点，原因之一就是计算能力不够，而随着近年来计算机性能的提高，神经网络再度成为焦点，并直接促成了围棋ai阿法狗的诞生。我现在从事的领域，就是医疗预测模型，也与此密切相关。

数论

中学数学中零星的涉及到了很多数论的初步知识，但没有系统的专题学习。作为最古老的数学分支之一，数论最为普通人所知的恐怕是哥德巴赫猜想了。数论也是数学分支中最难的之一，尽管现代数论已经大量引进高等数学工具，但数论的问题仍然技巧性很强，数论理论通用性比起其他数学分支要弱很多，不同问题往往还是需要独特的解法。

自然数的结构，尤其是素数的分布问题，一直是数论中的核心问题，这也是哥德巴赫猜想重要又非常难的原因。研究哥德巴赫猜想有什么用？很多人会这么问。认定哥德巴赫猜想成立，拿来用不就行了？从数学研究的角度，解决或部分解决哥德巴赫猜想，其过程会创立大量新的数学理论（也许就包括中篇末尾提到的“高高等”数学），对数学其他分支的发展作用很大。更一般的，我在学了现代密码学之后意识到，由于密码学需要大量的复杂数学变换，这使得任何一个纯数学领域看似毫无实用价值的东西都变得可能有重大价值了。

我国古代数学研究成果能写进现代大学数学教材的内容不多，解同余方程中的中国剩余定理（孙子定理，韩信点兵问题，），是为数不多的之一。虽然该方法在古书中仅用3、5、7为例，但解答过程明显表明作者完全解决了该问题，即便换别的素数也毫无问题。这个问题我最早是小时候在老版本的十万个为什么上看到的，记得非常牢，后来在代数结构里又系统的学了一遍。该定理在数论、代数结构、群论中都有很多应用，也表明古代中国在计数理论以及大规模人员管理上非常先进。

古籍中的韩信点兵问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

数论是中学数学竞赛中经常涉及的领域，题目往往非常难，高等数学的技巧派不上多少用处。曾经有一道国际奥林匹克数学竞赛的数论题，很多数学家花费很多时间都做不出来，但参赛高中生很多却做出来了。幸好我记得是第29届（二十多年了我居然还记得，呵呵），一查就找出来了，题目列在此段文字下面。系统的学习一些数论的初步知识对解题有帮助，但再往上很大程度就要靠悟性了。

难倒众多数论专家的第29届国际奥数第6题

离散数学

前面的内容中小学数学或多或少都涉及一些，下面的离散数学与拓扑学，课本中基本没有涉及，但在数学中地位重要，中小学数学竞赛经常涉及，所以还是简单谈谈吧。

中学生可能并不熟悉离散数学这个名词，这实际上是一大类数学的统称，主要形成于计算机科学兴起之后。计算机本质上只能处理0/1离散信号，靠提高位数达到更高精度。离散数学研究的对象是不连续的离散数学元素，这与实函数分析研究实数域上连续的数截然不同。

前面提到的组合数学也可以归在离散数学当中。图论与组合数学密切相关，是离散数学中的重要门类。图论最为大众熟知的例子可能是地图四色问题了。搞过中学数学竞赛的大概都学过一笔画问题（欧拉研究哥尼斯堡七桥问题时完美解决此问题，）。如果系统学过图论的知识（绝大多数并不需要高等数学的知识，而只需要逻辑清晰理解力强的头脑），那很多中学竞赛的图论题目是非常容易的，比如这道题其实质是完全无向图的着色问题，并要用到抽屉原理：假定世界上任何两个人要么互相认识，要么互相不认识，那么任意6个人中必定有3个人，他们之间都认识或都不认识。图论中对大量类似常见问题进行了系统研究，比如最大流问题（），其简单形式往往被用作数学竞赛题目的来源。由于图论可以表示离散状态之间的关系与转换，计算机科学中的各门分支几乎都要用到图论，比如数据结构、算法分析、数字电路、编译原理和操作系统等。即便不考虑应用，学习图论对训练思维也是帮助极大的。

哥尼斯堡七桥问题

逻辑学在古希腊奠定了基础，其后两千年没有大的发展，直到近代出现形式逻辑、符号逻辑，逻辑向更抽象化发展。计算机科学的出现大大促进了逻辑学的发展，产生了数字逻辑（用于数字电路），进一步完善了数理/形式逻辑。由于逻辑的形式化严密化，人类发现了一些以往传统逻辑很难发现的东西，比如哥德尔不完备性定理（），已经不仅仅是逻辑学的新发现，而且哲学上的突破了。该数学定理严密论证了任何一个公理体系只要是自洽（内部无矛盾）的，那一定是不完备的（即总有命题不能在该公理体系内判断真假）。其证明方法非常晦涩难懂，但实质上是用找了个类似上面集合论章节里的那种悖论，让公理体系左右为难，无法判别真假。从哲学意义上来说，该定理其实是在用严密的数学语言描述孔子说过的“而知也无涯”，不可能用有限的定理定律或类似的东西去描述整个宇宙，宇宙总有我们不知道的东西。该定理的影响是巨大的。比如数论的研究是建立在自然数公理体系上的，那么数论中一定存在无法判定的命题，哥德巴赫猜想会不会是其中一个？往下我就不懂了，不能乱说了。

一颗参天大树我们看得到枝繁叶茂，却看不到地下根深蒂固。树要长多高，根就要钻多深。人类的技术要发展，离不开科学研究的深入。根与树叶花朵的形态差别很大，科学与技术的外观形态上同样差别很大。回头看上面组合数学的那个解题过程，很难想象该抽象过程是为了解决一个普通人很容易理解的题目。闭关锁国的大清看到洋人的尖船利炮，很难把这个与数学书里抽象的微积分运算联系起来。大清学西洋技术，却不学科学精神，最终还是丢了西瓜捡了芝麻，一败涂地。普通人看到计算机的各种神奇应用，很难想象在计算机专业人员眼中背后的计算机科学是个什么样子。图灵机（）是个抽象数学计算模型，早于计算机的发明，光看其样子普通人很难想象它是计算机科学的核心基础。科学技术研究有个特点，总是科学研究先行，积累到一定程度后才有技术爆发，而且科学研究往往有很长一段时期是在积累，看上去没有什么用，但在为技术爆炸积累力量。人类的数学已经发展到高度抽象，农业文明时代那种直观且与物理世界一一对应的数学，早就一去不复返了。我国古代数学研究有很多成果，但过于强调应用，抽象理论研究不够（一看到抽象不能马上产生应用立马掉头就走），大多是孤立的应用技术，没有形成系统化，“可传承性”很差，往往在朝代更迭后又要重复发明一遍，在前人基础上继续进步的速度很慢。

可传承性可以用这样一个游戏例子来理解。在纸上写个大写的字母a，让第一个人抄下来，然后传给第二个人，抄下来传给第三个人，依次类推。如果这些人都学过字母a，那么即便经过很多人抄的还是字母a。如果这些人根本不认识字母a，只是照葫芦画瓢，那么每传一次的误差就可能积累并放大。比如某个人不小心在a的最上面开了个口，再传几个人就可能变成了字母h。抄作业没抄明白的不就经常犯这类低级错误吗？应用技术就是字母a的外形，而科学则是骨干，类似于对字母a的理解与形态把握。没有抽象的科学把应用串起来，应用技术就是一盘散沙，一代代越传偏差越大，一代不如一代。我们学知识，把知识放进大脑，类似于把图书放进图书馆，如果放的有条理，那么找起来也容易。放的没有，那么到用的时候就找不到，等于没有。把知识放进大脑，一定要理解归类，弄清新旧知识的逻辑关系，这样知识才会真正变成自己的。贪多求全，胡乱看一气，洋洋得意，实则根本没有理解，毫无收获，就算暂时记住了过不了多久就会遗忘，还白白浪费了时间。

扯远了，回到离散数学。像离散集合、代数结构等很多数学分支，广义上也可以算作离散数学的内容。离散数学主要是个实用概念，并没有明确的范围定义。运筹学、博弈论、统筹规划等中也含有大量离散数学的内容。统筹规划经常出现在数学竞赛中，比如仓库建在那里使得运输车辆走的路程最短，这个学科往深里研究就要涉及到规划学，通俗说就是在有约束条件下求函数极大极小值问题，是应用数学中很热门的一个分支。

博弈论（）是二战后兴起的一门新兴数学领域，在政治经济军事领域有着广泛应用。经典的智力题目，比如轮流拿走石子看谁拿走最后一个，可以看作最朴素的博弈论问题。博弈论的研究内容囚徒困境（）、纳什均衡（）等都非常有趣味性。

围棋博弈：出自动画片棋魂第11集，右侧黑6子棋筋被吃，棋局遂告终结。这是我的头像图片：）

离散数学的思想，还可以涉及到宇宙观的深层哲学问题。我们的真实物理世界是如实数域那样连续的，还是离散的？这个问题自从古希腊原子论开始就一直为哲学家探讨。离散数学还是实函数分析，到底哪个才是世界的真实数学描述？牛顿时代这根本不是问题，绝大多数数学家物理学家都信奉连续域并孜孜不倦的研究微积分和实函数分析。在微积分的无穷小分析理论里，不存在最小的单元，微积分是建立在世界是可以无穷分下去的这个假设的基础上的。有理数和数目更多的无理数，如上篇中说的那样，构成了连绵不绝的物质世界。然而这种观点在量子力学产生后受到了极大挑战。在量子力学里，任何东西，包括长度、时间、质量和能量，都有最小的一份，就是量子。在量子宇宙观里，离散数学才是真正描述世界的数学，只不过这个离散的最小因子太小了，在以前根本觉察不，所以连续域上的实函数分析包括微积分在宏观世界能够很好的应用，但是到了微观量子世界就产生了严重偏差，必须用量子理论加离散数学去处理了。这就如同牛顿力学在宏观低速世界应用的很好，但到了微观世界就必须用量子力学，到了高速运动状态就必须用相对论。

如上段所说，离散量如果达到足够精度，就呈现出连续域性质，高精度的数字电视非常逼真，就是这个原理。等差数列从1加到n，结果是n(n 1)/2，其主要项是n平方/2，单函数x从0到n的定积分也是n平方/2，这两者是有必然联系的。实际上普通积分也就是黎曼积分（）的定义就是离散的黎曼求和在精度趋于无穷小时的极限。只不过在现实世界中，这个精度受量子力学局限有一个下限罢了。

黎曼求和

反过来，微积分上的连续问题，往往可以通过高精度的离散模拟来解决，比如中篇中方程部分提到的用数值方法求解方程近似解，这里面一种典型方法是有限元分析（），在涉及时间序列的问题中用途很广。black-scholes定价模型（）是计算金融衍生物的价格有力工具，有些情况下没有解析解，只能用数值分析方法比如有限元分析来完成。

股价模拟

既然离散数学最早是人们为了描述计算机科学而引入的一个概念，那么量子力学的建立会很自然的让人产生一个可怕的猜想：我们这个世界是不是其实是个虚幻的计算机世界，而量子就像0和1一样是计算机能处理的最小单元？这就是科幻电影黑客帝国的思想由来。一切都是幻觉，这符合佛教的思想；虚幻世界外操控一切的那个程序员，符合基督教上帝或伊斯兰教真主的教义。看来这个理论能把一切都解释的很好。甚至连相对论里的光速不可超越都很好理解了--这个超级计算机的通信和处理能力毕竟有上限，所以信息传递速度不能超过光速。是不是真是这样我不知道，但接受离散世界观至少在数学上有个直接的好处，即可以回避上篇中提到的无理数的种种怪异特性--在离散世界中，只有有理数，并没有无理数，于是我们可以大大松了一口气。离散数学当然也很难，但主要是数学技巧上的难，无穷小引发的本质上的难以理解的特性，包括无理数的诡异，至少是暂时可以回避了。

电影黑客帝国

拓扑学

如果说代数、几何等数学分支是按照应用功能来纵向划分的话，拓扑学则是一种更深层次的对数学的研究，其研究内容则横向跨越数学所有分支。拓扑学研究的方式，脱离了具体的长度等测量值（这似乎跟前面提到的测度论完全相反），而把重点放在数学元素的关系之上。比如所有的实心三维物体，在拓扑学上都认为是相同的，而游泳圈那样有一个孔的则是另一种拓扑结构，以此类推还有两个孔的，像绳结一样缠绕的。莫比乌斯带（）是个很有意思的拓扑结构，它只有一个面，该百度条目描述了很多奇妙的性质，读者可以自己阅读。

莫比乌斯带

拓扑学的内容非常深奥难懂，我只知道些皮毛，没法深入说下去。上面举的是几何的例子，实际上拓扑学在代数领域同样有广泛应用，代数结构的“同构”（可以理解成初中平面几何的三角形全等关系）就是拓扑学的概念。拓扑学把代数和紧密结合起来的一个极其有趣的研究课题是纽结理论（），通俗的说就是研究绳子打结的数学，里面引入了绳圈多项式解决问题。（这有些类似上面组合数学部分提到的生成函数解决组合计数问题--代数多项式有很多匪夷所思的应用）。《绳圈的数学》一书对此有较为系统的讲解，这本书我有电子版，每每翻看都会不由得赞叹人类智慧的高超。

对于计算机专业学生来说，研究排序算法时必然要学到拓扑排序（）。这也是拓扑学的一个重要应用，在统筹规划等工程问题上有很多应用。

拓扑排序的一个例子

拓扑学在横跨组合数学时产生了组合拓扑学。一个简单的例子是魔方所有不同状态的计数。如果考虑到有些不同状态其实可以通过旋转变成相同状态，就是拓扑同构，或者叫等价，这个计数问题就是求等价类的数目，变得不那么容易了。在组合计数中存在大量这样类似的例子。组合数学的教材里必然要提到polya计数（），该理论用上了很多代数结构与群论的知识，较为圆满的解决了这类问题。很多中学数学竞赛题往往出一些简化的这类计数问题，不必用到这么高深的计数理论，但需要较为巧妙的技巧才能解决。（还是重复前面组合数学篇里说过的话，用生成函数方法可以砍瓜切菜般解决很多竞赛题，polya计数则是另一个高级法宝，近乎于作弊了）。

结束语

能看到这里，我只能两眼泪汪汪对你表示感谢了。其实这些东西在数学专业的看来都是很浅显的，很多内容也没有展开，说的不清不楚，由于尽量避免过于专业的数学用语，加上水平有限，细节写的不够准确。大框架应该没有重大问题，但细节上难免有不少小错误。本来主题是探讨中小学数学为啥选那些内容学习，结果一头扎进去说了很多水下的东西，在岸上的观众也许会看得一脸茫然。回头再看，我发现没法改了，因为水上的冰山和水下的部分浑然一体的难以割舍，而且我已经去掉了很多跟中小学数学毫无相关的内容了。

中学的国际化学生物奥林匹克竞赛（物理我不敢肯定），相比数学而言有些无聊，因为大量涉及大学知识，不学大学知识几乎寸步难行。国际数学奥赛的题目都是初等数学就能解决的，而且一般也没有高等数学方法的捷径，从这点来说题目的质量非常高。一般的国内数学竞赛，很多题目往往有高等数学的简单解法，这也是无奈，因为要在初等数学内出高质量的题目非常难。出题者往往是大学老师或研究生，这就不可避免涉及到大学数学的内容。只掌握初等数学，是没法出好这些初等数学的竞赛题的，得有一桶水才能教半桶水的人。从这个意义上说，我谈论中小学数学却扯了很多高等数学的内容，还是很有必要的。

如上篇开头所说，数学如同佛经一样无所不包，数学家试图将所有能数学形式化的东西都形式化，比如前面提到的绳圈打结。数学的各个领域都是互通的，但中小学数学只能是在各个领域挑选一些零星的东西学习，离连接并形成体系还很远。中小学数学大体可以分为两类。一类是某些高级数学内容的引子，比如极限是微积分的入门，这些高级数学往往还在继续发展当中。另一类是一些初等数学里就研究透了的死胡同，比如平面几何的逻辑证明题。后者在大学以及以后的课程里几乎不会再涉及，但被选入中学教材，主要是为了训练数学思维，以及保持数学知识体系的完整性。（如上篇开头所言，从每部里挑几本经书给唐僧，每部都得挑一些嘛）。我个人觉得中学数学中的死胡同内容似乎多了些，技巧练习占的比例过大，围绕不多的内容炒冷饭的时间过多，数学的趣味性和数学分支之间的联系性不受重视，学生容易造成逆反心理，以至于以后再也不愿碰数学。学习是有机会成本的，而且很多时候甚至有”负“机会成本，即不学还好，一去学不但没学会，还讨厌上了这个东西，以至于以后再也不愿学了（比如很多孩子本来大了可以学好围棋，但太小时去拔苗助长，反而造成逆反，一辈子都不愿学了）。我觉得中学数学可以适当借鉴美国高中的ap课程，给学有余力的学生自由选择的机会，提前学一些大学课程。保持多样性，尽可能的对不同学生提供不同的选择，还是很有必要的。当然这对中学教育工作者提出了更高的要求。在进入大学后，学生们会发现大学课程（不光是数学）强调广度重于深度，一个学期学完一门专业课，下学期就赶紧转到另一个课题了，很多东西来不及搞得很熟练，期末考试完了就完了，以后如果要用到，再回来细细研究就是了。如果像高中那样反复深度练习，那大学本科的东西几十年都学不完。

我数学教学经验很少，在科大教过成教学院的离散数学课，还当过别的课的助教，在约翰霍普金斯当过三个学期助教，辅助教授给本科生上课，除了改作业批卷子，还有每周一小时左右的答疑课和考试前的专门辅导课，主要是在黑板前讲解题目，这些都跟中小学数学相差甚远。我更不是教育专家，无法对中小学如何学好数学做出具体建议。心灵鸡汤类的东西，滔滔不绝能说两小时，但是毫无意义，浪费时间不说，还只会误人子弟。我只能发挥自己的长处，尽量客观而通俗的描述一下我眼中的数学大厦的轮廓，给大家提供参考。写了这么多又臭又长的老九内容，不能指望大部分对您有用，但如果其中有一丁点能对你的数学学习或对你辅导孩子能有一点点帮助的话，我就心满意足了。

最后我要感谢我的不到两岁的女儿。正如我的另一篇日志《“强灌式”教育的收获1：春秋历史篇》，本系列上中下三篇关于数学的内容，也诞生自我抱着女儿进行“强灌式”教育的过程。正是这样一个过程，让我系统整理了对数学知识大厦的理解。把这个教育过程中口述的内容进行文字整理，添加合适的图片和参考链接，最终形成了这上中下三篇。

归巢鸟文