浇灌数学之树使之常青，成了我义不容辞的责任……最根本的是要努力改变社会导向，使孩子们从上小学起就能喜欢数学而不是视数学为畏途。——米尔顿·弗里德曼（著名经济学家）
这本书不长，我也不知道怎么记了这么多内容，干货确实挺多的。个人觉得， 本书更适合小学前父母阅读，大量关于做题的巧妙方法，令人称奇。 对于2、3岁开始数学思维启蒙的家长来说，可以提前学习核心思想，从小在生活中给孩子渗透数学。
孙路弘， 从初中起就表现出优秀的数学能力，1978年时成为中国首届奥数竞赛获奖者。毕业于北京师范大学数学系，1989年留学澳大利亚，营销及销售行为专家，高级营销顾问。 曾任北京师范大学附属实验中学数学老师；1985年，担任中国第一个奥数班的班主任。被称为“中国奥数第一人”。
孙老师妈妈其实是很厉害的，虽然作者说她连初中都没上（但作者外公、三个姨、一个舅都是大学教授…），教给孩子的数学方法放到今天都非常新颖。她对孩子的数学教育潜移默化在生活每处，连孩子过10岁生日都要在蒸的馒头上写3 7=10（作者3月7日生日），让作者记忆犹新。下五子棋也要问孩子有多少格子多少点。因为有这样的习惯，作者时刻对数字保持敏感。
孙老师从四年级开始有记日记的习惯，这是一种自律，成功之人有些习惯是必然的。 而且可以从书中的故事看出来，他其实是有数学天赋的，在小学就展现出来对数学的浓厚兴趣，望尘莫及。
核心思想
前言&引言
1、生活中的点点滴滴都可以悄悄地变成数学的形式，比如清点包了多少个饺子，下楼数楼梯，记住家里的楼号、门牌号，或是收电费。我至今都有这样的习惯，走楼梯数台阶，看地板上瓷砖的数量等。 通过这些细小的事情，我不害怕数字，对公式也不恐惧，并渐渐爱上了数学。
2、孩子学数学前，父母就灌输给孩子数学是所有科学的基础这样高深莫测的概念，并且老师讲的内容难以理解，数学就变成了令其恐惧的东西。孩子在能力上不具备接受抽象事物的基础，反映出来的消极、逃避不是态度问题，而是能力有限的一种表现。
3、儿童心理学强调，孩子学习任何新知识、掌握任何新能力、建立各种新概念的过程都是循序渐进的，不仅有术语的认识、熟悉、运用、掌握的过程，还有 亲自动手尝试的过程。 这个过程可以在学校里由老师辅导来完成，可以通过同学之间的讨论来完成，当然也可以像小朋友玩游戏一样，在参与、体验、尝试中完成。
4、老师给的是知识、是理性、是系统，而妈妈给的是兴趣、是动力、是喜悦。妈妈，不是要成为家里的老师，而是成为一个启蒙孩子智力发育的朋友。
家有一杆秤
1、 4岁左右，孩子就已经对物体的重量有感觉了，能够比较不同物体的轻重。6岁左右，孩子就能够接受“轻重的不同是可以通过数字量化来比较的”这种认知。
2、眼睛看得多了，耳朵听得多了，并参与其中，看到自己的不同做法会产生不同的结果，也就开始对事物有了兴趣。鼓励孩子自己思考并阐述过程，这样容易令其产生兴趣，而不是直接告诉答案。
3、物体的轻重是最容易让孩子理解量化作用的切入点。对孩子来说，重量是一个比较抽象的概念，要到小学五年级才会学到。
4、作者妈妈买了一杆秤，作者非常喜欢玩，什么都用它称量重量，并且用数字把它们写成。慢慢地自己用手掂量，就可以知道这个东西大概多重。数字可以量化事物，因此数字在他脑中变成了生活中的一部分。
5、通过这杆秤，作者还提前习得了小数的作用，秤砣的位置在1的左边，就是不到1；如果落在1的右边2的左边，就是1点几。这个过程自然而无负担。
6、秤能帮助我们理解“重量”的原理： 重量是一个抽象概念，只有与生活中身边的事情结合起来时，才会变成眼睛能够看见、手能够感觉到的具象的东西。这时，脑海中也就建立起了对应的数字概念，理解了物体重量的意思，并能够与手里的感觉对应起来，进一步刺激大脑皮层与手、数字、概念之间的联系。而缺乏这种体验的孩子在学习重量、长度、时间、温度的时候，就会仅仅停留在对概念的理解上，无法与具体的生活相结合。
7、 妈妈这样做：
指尖上的数学
1、（很有趣）用手指头算99乘法表里乘以9的方法：9乘几，就把第几个手指头掰下去，这样左边剩的就是十位数，右边剩的就是个位数。如下图4*9=36的算法。
2、孩子的内心其实不仅在乎父母的认可，而且更在乎同学的认同；孩子的内心其实不在乎大家都做同样的事情但我是第一，而更在乎我做的事情与大家不一样，也得到了同样的结果，而且过程还有趣、好玩儿。
3、孩子从3个月开始就会做啃自己手的动作了：先是啃拳头（因为手指还无法全部伸开），等到四五个月的时候，手指渐渐伸开，他们开始啃大拇指，接着就是另外的4个指头。啃大拇指的作用最大，直接刺激脑细胞发育的作用高达50%；另外4个指头也很重要，可以刺激大脑周边运动神经的连接。
4、 四五岁开始学习加法的时候，用手指也是直接刺激大脑接受数量变化的好方法。
5、孩子的执着程度取决于兴趣被调动起来的程度。
6、 坚持做同样事情的时间越长，这个人的注意力、执着程度就越好，一生也更容易取得超过常人的成就。
7、根据现代脑神经研究结论，人类的记忆力大约从9岁开始，21岁左右达到顶峰。而9岁开始能够系统记忆的能力，则一定程度上来自2岁时大脑髓鞘的发育和发展。
8、 妈妈这样做：
粗心到底是什么
1、 父母不要在孩子面前扮演无所不知的全能者，否则时间长了，当孩子养成凡事都问大人的习惯却遭到粗暴回绝时，他们探索世界的原生动力就在不经意间被消灭了。
2、因为作者记忆力不好，在四年级学习两位数乘法的时候，总忘了进位。他妈妈又告诉了他一种“倾斜方向算法”：孩子对于形式上明显的标志或者能够依赖的线条更容易接受；而对于按照某种格式来排列事物的接受程度就较低，除非将格子写在白纸上。
3、孩子从小喜欢画画，给他们不同尺寸的纸张，孩子开始动笔画画的时间就不同—— 拿到小一点纸的孩子动笔要快一点；或者在一张白纸上写字，如果画一个格子，要求孩子写在格子里，就容易一些。
4、中国vs英国的九九乘法表：前者单向后者双向，前者运算与结果在一起后者否，前者格子之间无关后者有关，这种区别造成孩子了思维的区别。
5、能够调动孩子求知的兴趣，这才是妈妈最大的成功。成功并不是教会了孩子多少知识，而是把孩子追求知识的原始动机培养出来，也可以说是让它发育出来。这时，妈妈就退到了幕后，那个激发出来的兴趣会推动孩子自己向前走。
6、作者从英国九九乘法表中，发现了非常多的规律。因为是自己发现的，所以格外珍惜，这是思维开拓的旅途。妈妈做的只是让孩子多看了一会儿这个表格而已。
7、 作为父母，可以给他正确的答案，但要把自己计算的过程讲出来，讲的细节步骤越详细越好。
8、 给孩子解释一个问题的时候尽量不出现新的术语，会让孩子把问题转移到新术语上。
9、 妈妈这样做：
默想是智力发展的敌人
1、 5岁前养成的习惯往往可以本能地维持一生。尽早培养孩子说出自己的思考，可以是对自己讲，也可以是对家里人讲。
2、 利用说话推动思考。把思考的过程说出来很重要，清点的过程可以不断强化对眼前材料的感觉。说出思考过程是一个重要的启发智力的方法。能够说出来的思考，印象也会更加深刻。
3、说出来的任何内容都是对自我意识的超越，建立在自我思维的水平之上。
4、加法小方法：告诉孩子，6加7就是从6开始数数，7、8、9、10、11、12、13。所以6加7等于13，数了7下，意思就是6加7了。12加7，那就是从12开始数数，数完7次停留的那个数就是相加的结果。
5、对于孩子提出的无厘头、无意义的问题，父母不能因为潜在的问题就打压孩子提问的行为，这样不仅会导致他们再也问不出问题来，而且会让孩子对听到的、看到的事情不再进行深入的思考。
6、学校没有培养孩子们把思考过程说出来，主要是因为教育资源不够，以效率为核心的事情，都会丧失效果。
7、 妈妈这样做：
应用题的关键难点
1、 从孩子早期接受数学概念的能力来看，语言理解是最基础的一关，也是最初的难点。培养孩子对数学词汇的熟悉、理解，并渐渐形成认知。这样，当孩子再遇到应用题时，题意理解这一关就可以轻松跨过了。
2、生活中越经常地接触到具体、具象的数量，并得到及时的启发，孩子就越具备主动走向抽象的能力。
3、能够知道有多少个饺子是对量的认识，而能够知道谁包的饺子多，就是对量的比较，比较能够强化对量更加深入地认识。数学就是从这种对量的比较中逐步建立起来的。
4、一项针对来自俄罗斯、德国的天才儿童的研究揭示了如下3个结论：1、 天才儿童的卓越之处主要体现在对抽象词汇、抽象关系的掌握中。2、生活中越是经常地接触到具体、具象的数量，并得到及时的启发，孩子就越具备主动走向抽象的能力。3、数学方面的天才都具备对语言中词汇的特殊理解能力。
5、学校老师总是灌输给孩子一个肯定不懂的词汇，然后再给它许多解释和说明，正常的儿童认知发展次序却完全不是这样的。如果孩子强迫自己记住老师要求的操作模式而心里并不真正懂，再通过大量类似题目的训练养成本能，日久天长，孩子的认知理解层面就与操作层面脱节了，失去了思考问题、提出新问题的能力。
6、父母不应该指望学校，而是应在生活中寻找大量的机会来讲解具体的数量，并给孩子机会自己去形成认识，学会运用。 经常用具象的演示，让孩子理解抽象概念，孩子以后理解题目就会变快。比如：学习相向问题的时候，可从演示开始，告诉孩子什么叫相向、同向、错车。
7、澳大利亚的中小学有很多这样的具体模型，以至于他们孩子的提炼能力很强，解决问题的思路也更灵活多变，中国人注重计算、解题速度和准确率，这是锻炼出来的，而忽视思维培养。但还好，孩子两种能力都可以掌握。
8、所有抽象的数学词汇都是之前许多数学家从现实生活中提炼出来，并用他们的词汇来概括的，而孩子的脑海中是空白的，不一定能够直接就接受，也绝对不可能在没有任何现实可见、可触摸的情况下就直接理解。必须让孩子经历具体的操作过程，然后自己去体悟，这才是帮助孩子成长的正确方法。
9、一个拔苗助长的例子：一个小孩看蚕蛾想冲破蚕蛹，很努力地摩擦洞口，就用剪刀把口剪大，蛾虽然出来了，但因为没有磨练过力量，至死无法飞翔。对孩子的教育也是如此，让孩子“记住”“背下来”某些概念，磨灭了孩子自己奋力的过程，他们无法真正飞翔。
10、外包是社会分工的一种表现形式，对孩子教育的外包不仅可以是学校，也可以是辅导机构，但其实最关键、最贴近孩子、最直接有效果的还是父母本身。孩子的第一任老师就是父母，父母也最能够把握一切日常生活的机会来建立许多概念，扩展脑力智慧。
11、一些小学数学经常会碰到的12个词汇：顺序 任意 和 往返 轮流 连续 剩余 多出 同比 匀速 注满 单独
12、视觉学习是从6岁开始发展的，随着抽象词汇数量的增加，能够渐渐掌握抽象词汇，并表现出与同龄人不同的理解能力。4岁后继续使用绘本，会严重降低抽象理解的发展速度。（有待解释？）
13、 妈妈这样做：
从手指开窍出大脑智慧
1、 利用手指对孩子的好处有： 手指活动对大脑细胞发育、活跃会起到促进作用。手指活动能够激发孩子学习的兴趣。手指活动能够降低孩子学习新知识时的恐惧感。
2、印度一种计算6-10乘法的手指算法：左手的6对应右手的8，对应的6、8两个手指下方有4个指头（包含6、8两手指在内），就是4×10=40，上面左边4个、右边2个，4×2=8，所以40 8=48。
3、 孩子从5岁起就已经具备用手指头计算的意识了。
4、对12岁以前的孩子来说，还不足以掌握复杂、高深的理论及公式，但他们的智力完全可以进行多种形式的变换。调动孩子参与这些不同形式的计算、数数和清点，都是这个年龄大脑发育阶段最合适、最贴切的活动。
5、 训练灵活性是在12岁之前最需要的脑力活动。手指头在生理上会刺激大脑的部分区域，而它本身也确实是一种工具，可以用来计数，是灵活性训练的一种途径。衡量1岁孩子智力发育状况的标准之一，就是看孩子的大拇指与食指能否捏合拿起细小的物品，如果可以，大脑细胞发育的边界就在扩张。同样，对4～6岁的孩子来说，手指头的活动，如清点、计数都能够激发灵活性，而不要教条、僵硬地按照老师说的一切去模仿。
6、乔布斯对手的痴迷，令他抛弃鼠标，做出了触摸屏。
发烧是多少度
1、对一个事物的记忆来自于头脑中对这个事物的集中时间，集中的时间越长，对这个事物记忆的时间也就越长。
2、 培养起孩子玩数字的兴趣吧，让他们看到不同过程中的变化、不变，以及奇怪的对称、巧合，这些都是激发孩子脑海中火花的灵感之源。
3、对孩子来说，证实猜想的方法就是实验。837是不是9的倍数？8 3 7=18,1 8=9，那它是的。就像我小时候，看一个大数是不是3的倍数，就看它几位数累加后是否是3的倍数就好，如981，9 8 1=18，可以。
4、人类思考方式的次序：大量的实践，实践中观察，观察后猜测，猜测后验证。
5、人们最喜欢的字是自己的名字，人们最喜欢的数字是自己的生日。自己的事情，人们有天然的喜好。 而学习的东西，只要与自己有关联，也就容易有兴趣，能够推动自己用更多的时间和精力去关注。
6、 妈妈的任务就是借助一切孩子自己体验过的事情来巧妙地、不露声色地加入那些有知识意义的元素，让孩子接受起来更为自然和顺利；从具象到抽象，顺理成章。
孩子懂了吗？妈妈怎么知道
1、学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。
2、让小朋友解释7是什么，澳洲的小朋友会说：7是一周的天数、是一年级小朋友的岁数、是一个数字记录、它出现在电梯上过…而中国小朋友，往往会犯难，用数字解释数字，缺乏运用与现实的结合来理解数字。这样一来，中国的孩子不是输在了起跑的时间上，而是输在了起跑的姿势上。起跑的时间越来越早，起跑的姿势却越来越不正确。（我认为与实际教育重点有关，中国重视概念和定义，孩子会努力想出书上的那样官方、正确、归纳性的释义，澳洲孩子教育过程本来就是从具象走到抽象，他们还没有提炼到概念的层面。澳洲的教育顺序也许更符合孩子的发展。）
3、 认知过程在理解抽象事物上分五个阶段，以数字理解为例：1、 浅层阶段：仅仅是一个字，与“大”、“天”这样的字是一样的。2、初级阶段：一些物品的量，比如我有3个苹果。3、中级阶段：一些事物的关系，比如8点总是在9点的前面先到。4、高级阶段：这些数量之间不仅可以比较，还可以操作。5、深层阶段：数字是数量的符号，可以代表任何事物，任何事物都可以被数字量化，不受事物表象差异的影响。
4、 对于3岁前就能够从1数到20的孩子来说，他们多数都停留在浅层阶段，理解的仅仅是字而已。这个时候需要父母带领孩子进行大量的清点物品的活动。 如果孩子说话中主动运用了数字，而且用对了，就说明孩子对数字的认知能力进步了。
5、运用语言其实就是大脑层面对各种词汇的操作，运用了数字，大脑神经元的活动区域就扩大到了左脑。只有当左脑中的数字混合了右脑的形象描述时，数字概念才会得到进一步发展。
6、根据皮亚杰对儿童思维发展的研究结果：孩子3岁可以建立初级阶段的数字认知，6岁可以发展到中级阶段，9岁可以到高级阶段，12岁左右应该实现深层的抽象认识。
7、 加法的认知阶段：1、知道加法是一个操作动作，是数量的增加过程。多了一个苹果的意思就是原来苹果的数量多了1。 2、知道加法是一种运算，可以针对任何事物进行。苹果也可以加梨，意思是总体拥有的数量增加了。3、理解加法不用考虑次序，先多了1个、后多了3个，与先多了3个、后多了1个是一回事儿。4、加法概念的扩展。和、总和、一共、多了、所有、全部，这些词汇都是加法的不同表达，都是一个意思，就是加法。
8、学校依靠大量模仿和练习，让孩子熟能生巧却不理解本质，会造成这样危害：破坏认知顺序、破坏对数学的感觉、破坏求知力和创造力
9、 妈妈这样做：
满分学生没有未来
1、错误是学习的最佳机会，把握这样的机会才能够带领孩子一步一个脚印地走过理解的道路，找到自己独特的方法。
2、妈妈们在对待孩子的时候，经常陷入两种情况：孩子考了100分就夸奖孩子，看到有犯错的地方就生气。有些情况下妈妈也会给孩子讲解，但是在讲解时却经常使用成人语言。孩子不会表达自己是否真正理解了，只是貌似把正确答案写了出来，其实那不过是孩子自己在尝试，尝试运用一个概念来应对所面对的题目。多数妈妈几乎已经忘记了自己学习数学的过程，有时又会运用后面学到的知识来解决孩子当前面对的题目，所以难以给孩子讲明白，孩子对过程就似懂非懂。
3、 孩子在成长的过程中，小学阶段做数学题会犯五类常见的错误，分别是以下五点，书中还有详细题目。
4、 粗心导致的错误。对这类错误，要看类似的题目孩子会不会，如果类似的都做对了，就没有必要纠缠于粗心的错误。粗心是孩子大脑发育过程中的好事，凡是从小就细心的孩子，其创新能力通常也比较薄弱，举一反三的表现不如粗心的孩子。
5、 步骤跳跃导致的错误。妈妈可以要求孩子在纸上把每个步骤都写下来。一个步骤就完成一个动作，通过细致的步骤来促成大脑建立清晰、明确的过程，避免以后犯类似的错误。这个时候不是要求孩子速度的阶段，许多家长经常要求孩子快一点做题，尽快完成作业，长此以往，孩子长大后也就必然会过度关注速度、忽视细节。
6、 规则运用模糊导致的错误。这个方面的错误多了会让孩子失去耐心，继而降低信心。
7、 题意理解偏差导致的错误。教材中会出现一些孩子从来没有接触过的词汇，老师不会解释，需要父母帮助孩子理解。
8、 对概念理解不准确导致的错误。连续3个月的概念不清，将带来继续学习的重重障碍。必须引导孩子把做题的思路、思考的过程都说出来，85%的孩子可以在说的过程自己领悟，并记忆深刻。
9、妈妈对我的满分和不及格都没有表现出特别的情绪，妈妈选择公开地与我讨论考试卷子，让我后来再也没有隐藏过试卷，无论考了多少分，我都愿意让妈妈看。
10、 妈妈没有必要在孩子面前扮演全知全能的角色，如果你也不会，就让孩子讲给你，一起学习。
11、 妈妈这样做：
不会做题，只有三种可能
1、在小学阶段，孩子最需要掌握的是规则的运用，最需要启发的是对规律的认识，最容易卡住的地方是题意理解。
2、辅助的意思不是帮助，辅助是以辅导孩子为主，自己为辅。 父母解答出来再讲给孩子听，可能会运用到孩子没学过的知识，并且容易使之产生依赖。父母可以：和孩子尽可能多的讨论这个题目，让孩子自述，一起解答，他们对题目越熟悉，大脑中的细胞活跃程度就越高，对智力发育就越有利。
3、 不会做题的三种可能：1、看不懂较多的词汇。2、看不懂题目的目的。3、看不懂题目已经说明的情况。
4、在面对数学题目的时候不再发怵、不再恐惧，反而敢于迎接挑战，哪怕是用特别原始的、纯粹的、麻烦的方法来解决问题。“啊哈”的一个瞬间，问题迎刃而解，心理上自己又向前迈进了一步。
5、 妈妈这样做：
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