来源丨三联生活周刊 文|苗炜
克服数学焦虑并不意味着数学不难,也不意味着你会在一夜之间成为数学天才,重要的是你对数学经验的感受会发生变化。
“数学焦虑”这个名词是希拉·托比亚斯定义的,她在卫斯理学院担任教务长的时候,发现学校里的女生极力避免选修数学或其他需要数学知识的专业课,如物理、化学或经济学。她开设了一家诊所,面谈了数百名大学生,1976年,她在一本女性杂志上发表了一篇文章,继而把这篇文章扩充成一本书,题目叫《克服数学焦虑》。她说,许多女生被告知“女孩不会做数学”,或者另一种说法,“她们要么擅长数字,要么善于使用文字,但她们不可能同时擅长两者”。如果一个爸爸对女儿说,“你妈妈总是不会记账”,这就是让女儿“习得性无助”,所以,“数学焦虑”这个词,跟女性主义有关系,它意味着男人如何让女性失去权力,使女生无法在学业上全力竞争。托比亚斯认为,男生也会有数学焦虑,但数学焦虑对女生影响更大。
图|孙愚火
到底什么叫“数学焦虑”呢?按照现在心理学家的说法,如果你做一道数学题时,感到身体不舒服,或者担心得不到正确的答案——你可能就有某种程度的数学焦虑。它可以有很多等级,它被定义为面对数学问题感到的紧张、忧虑或恐惧。如果一个学生有数学焦虑,就会尽可能选择少上数学课,这会限制他以后的教育和职业选择。有数学焦虑的父母也会将这种感觉传递给孩子。2012年在34个国家进行的调查发现,59%的初三学生表示,他们担心数学课会很困难,大约三分之一的学生在做数学作业时感到紧张。有意思的是,那些数学成绩差的人不担心数学,擅长数学的人则比较焦虑。2018年,英国的一项调查发现,超过四分之三有数学焦虑的儿童在数学考试中得分正常甚至较高。
说实话,我觉得大多数人面对数学时都会有点儿紧张,怕自己做错了,怕自己不会解题,怕自己理解不了一个概念。只要家长群里有人丢出来一道小学二三年级的“奥数题”,我就会紧张。这好像是数学的应有之义,让你紧张起来,大脑聚焦,快速运转。尽管教育专家有“多元智能理论”,但大家对逻辑数理智能还是非常看重。
《了不起的麦瑟尔夫人》剧照
芭芭拉·奥克利,出生于1955年,她上七年级的时候,父亲失业,一家人搬到了一个较差的学区,她遇到了一个糟糕的数学老师。数学沿着由加法、减法到乘法和除法的逻辑庄严地攀升,直接通向数学之美的天堂。但如果你碰巧错过了逻辑序列的某一个步骤,数学不会原谅你。芭芭拉的数学成绩变得糟糕,科学课也是一窍不通,好在她对历史课、文化课感兴趣,特别是语言,也就是说她的语言智能非常好。高中毕业了,芭芭拉参军,得到了去华盛顿大学学俄语的机会,大学毕业后授少尉军衔,接受无线电、电缆和电话交换系统的培训,她以垫底的成绩完成了培训,然后去了西德,担任通信排排长。之后芭芭拉意识到自己的职业生涯有问题,“如果我留在军队里,我糟糕的技术只能是个二流货色。如果我离开军队,能用斯拉夫语言和文学学位做什么呢?基本上,我会与数百万同样拥有文学学士学位的人竞争入门级秘书类型的工作”。
从军队退役后,芭芭拉回华盛顿大学学通信工程专业。她说,这是一个重塑大脑的过程。后来她去了南极科考站工作,又读了硕士、博士,在大学里当教授。她写了一本书a mind for numbers,国内翻译成《学习之道》,副标题很有意思,叫“如何精通数学和科学,即使你的代数不及格”。她讲自己的经历,高中时数学和科学挂科,26岁才开始学三角学,以往认定自己与理工科无缘,数学成绩糟糕让她“自我设限”。芭芭拉这本书是讲学习方法的,她说,解决数学和科学问题,通常比涉及语言的思维模式更复杂更费力,因为数学更抽象,而且经过加密,比如加号背后的理念就很抽象,乘法符号象征着重复的加法,这就是一种“加密”。但数学有一个好处,搞明白数学的基本概念比学习那些需要死记硬背的科目容易得多。她在书中提到“定势效应”,这是学生写作业时经常出现的绊脚石。简单来说,你的想法与实际pg电子试玩的解决方案相去甚远,但你没法扔掉你错误的旧想法,没法接受或者产生一个能解决问题的新想法。“定势效应”也就是我们常说的“笨”或者“不开窍”。
《小谢尔顿》剧照
我在读这本书的时候,有一个疑惑,芭芭拉原来数学成绩不好,可能跟她频繁搬家有关,她在上十年级之前搬了十次家,这大概影响了她的学习。我还有一个疑惑,那就是一个人年少时数学不好,但随着心智变得成熟,会不会就开窍了呢?学语言搞翻译对数学思维就没用吗?多种智能之间就不能互相帮助吗?
有一个叫杰森·威尔克斯的人,写过一本书叫《烧掉数学书:重新发明数学》,他说自己初等代数的成绩是c,三角函数的成绩是c,提起正弦、余弦这些词就心生恨意,中学数学对他来说就是专制无聊,高中临近毕业时,他庆幸自己再也不用上数学课了。高三那年,威尔克斯在书店里翻一本微积分教材,书中的语言很平实——直的东西比弯曲的东西更容易对付,但如果你放得足够大,弯曲的东西的每一个小部分看上去都像是直的,你要想象,不断放大,在比较容易的微观层面解决问题,然后再缩小回去,你就把问题解决了。威尔克斯说他为这个思想着迷,他觉得微积分比较容易,而微积分的预备知识比如代数、三角和对数这些概念却很难,他领略到了微积分的有趣:球的体积的导数就是它的表面积,圆的面积的导数就是它的周长。这本书让他开窍了,他上了数学系,拿到了数学物理的硕士学位,然后攻读进化心理学的博士学位。
《天才少女》剧照
这样的故事很多:骨骼清奇的少年在书店里碰到了一本“如来神掌”一般的秘笈,然后打开了数理世界的大门。我可以顺手讲两个。
1959年8月,14岁的侯世达跟着爸爸逛书店,他看到了一本书叫《哥德尔证明》,书中有许多诱人的图形和公式。“由于直觉感到《哥德尔证明》好像注定和我有关联,我必须买下这本书。”侯世达回家就看书,“从头到尾,这本书都和我激情共鸣,我开始沉迷于真与假、悖论与证明、映射与反射、符号操作和符号逻辑、数学与元数学、人类思想创造性飞跃的奥秘和智能的机制等问题的思考之中。”侯世达的爸爸是斯坦福大学物理教授,得过诺贝尔奖,他认识《哥德尔证明》一书的作者,没多久两家人就聚在一起。侯世达后来学了数学,还得了物理学博士学位。
再讲一个。1971年,16岁的李·斯莫林上高中了,他对政治、摇滚乐感兴趣,老师觉得他不够聪明,劝他不要选高阶的数学课程。为了证明老师错了,他高一那年把高中数学学完了,高二那年他对建筑产生浓厚兴趣。高三那年,他喜欢的摇滚乐队解散了,女朋友跟他分手了,他的化学不及格,也没选物理课,他想退学。这时候,他在图书馆里看到一本书《爱因斯坦:哲学家—科学家》,读这本书的当天晚上,斯莫林说他“心里浮现出这样的念头,如果我这辈子不能做其他的事情,那么我也许可以成为一名理论物理学家”。因为物理学比爱情稳定宽广。
《天才基本法》剧照
这两个故事会不会激发中小学生学好数学和物理呢?心理学家说,不,这样的故事会催生“数学焦虑”。围绕数学有太多神话了,这会使人们对数学感到焦虑。数学的神话是由数学天才滋养的,好像只有天选之人才是“数学人”,如果你处理数字时感到害怕,就觉得自己不是一个数学人,然后得出结论,你永远不会喜欢数学。你看,侯世达的爸爸是物理教授,杨振宁的爸爸是数学教授,斯莫林想学物理的时候已经被建筑系录取了,他们是天才。心理学家说,克服数学焦虑的第一步就是提醒自己,数学不是属于那些天才的,任何人都可以至少做一些数学,放下压力,有助于缓解你的焦虑。换言之,数学当然是属于那些天才的,但你中小学学的那点儿数学都是五百年前的东西了,你应该至少做到及格。
心理学家还说,与人文学科不同,数学通常被视为一门要么对要么错的学科,这会造成压力。斯坦福大学有一个免费在线课程“如何学习数学”,其中有一个思维方式的练习,它要求你在脑子里做18×5。每个人都会以略微不同的方式解决这个问题。专家建议,花时间尝试想出几种不同的方法来解决一个简单的数学问题,这将帮助你摆脱正确或错误的心态,开始享受数学的解题过程。把数学当作开放式的问题去教,重视不同的想法,甚至重视错误时,学生不会产生那么多的焦虑。
《小舍得》剧照
看上去,心理学家为各种学习困难找到了足够多的借口。不过,杰森·威尔克斯的《烧掉数学书》中也提到要教一些“错误的”东西。他说,从小学到博士后的各级数学课程中都缺失重要的一环,那就是对模糊和混乱的创造过程的描述,如果不讲数学思想的创造过程,学生就无法领略数学的优雅和美丽,“我们要像讲故事一样去写教科书,要让书中的角色被难住,不知道下一步该往哪里走”。
保罗·洛克哈特是一位数学家,曾在加州大学伯克利分校任教。他14岁时对数学产生兴趣,不是学校的数学课启发了他,而是课外阅读让他迷上了数学。他对学校教育一直不满,后来他写了一本书叫《一个数学家的叹息》,然后真的跑到纽约一所k12学校去讲数学课了。
《天才基本法》剧照
洛克哈特非常反感用讲故事的方式来讲数学,他说,数学的美就在于它跟日常生活没关系。学校为了让孩子学会计算圆的周长和圆的面积,会编一套圆周先生和面积太太的对话,但这是最无聊的故事。好的数学故事来自数学史,要讲清楚圆,就要讲数学史上人类为了测量曲线所做的种种努力,要讲穷竭法。
这种理念颇有挑战。小孩子理解几何形状和边的概念,会知道三角形有三条边,四边形有四条边,知道五边形六边形乃至正十二边形正十七边形,但圆有几条边?这是一个很难的问题,一般来说,我们为了图省事,都会说圆有一条边,但这条边是曲线。我们很难跟小孩子解释说,如果你把边理解为一条线段,那么圆有无数条边,多边形的边数越多,其形状、周长、面积就越接近于圆。所以,我们可以把圆看成是由无数个线段组成的正多边形,圆是一种概念性的图形。你如果这样跟孩子解释,孩子能理解吗?
《做不会的题》剧照
洛克哈特说要讲圆的面积和周长,就要讲欧多克索斯、阿基米德和数学史上的穷竭法。欧多克索斯是公元前400年的古希腊数学家,他对数学的一个重要贡献是建立了严谨的穷竭法,并用它证明了一些重要的求积定理。中国古代也有割圆为方的数学思想,就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积。但穷竭法、割圆为方,涉及极限和无限小的概念,如果沿着这个思路讲下去,就会讲到微积分。
话说至此,可以看出洛克哈特的教育理念有一定的危险性。你要跟着他学数学,应付中考高考怕是会出问题,但如果你对数学感兴趣,愿意在数学中获得更多的乐趣,那洛克哈特是一个很好的老师。洛克哈特认定,中小学数学课存在大量问题,让孩子记下一堆公式和定理,然后不断做题,这种机械的教育不能让孩子领略数学的美,好的教育方式是要让孩子置身于数学问题之中,由一个问题引向另一个问题,从中发展出数学思维和数学技巧。为了验证他的教学理念,他还写了一本书叫《度量:一首献给数学的情歌》,从大小和形状这样的基本概念出发,一路讲到了微分方程。
像洛克哈特这样的教学方法,能让更多的孩子喜欢数学吗?我觉得数学教材还是照顾了大多数学生的能力和心智发展速度,杰森·威尔克斯的《烧掉数学书:重新发明数学》和洛克哈特的《度量:一首献给数学的情歌》还是更适合当课外读物。
《大盗查理》剧照
数学家怎么看待数学焦虑这件事呢?美国数学家史蒂芬·斯托加茨(steven strogatz)说,数学与做题速度无关,许多数学家都很慢,聪明人可以快速解决简单的问题,但他们会花很多时间解决更困难的问题。当面对数学问题时,一旦你接受了答案并不在快慢,你就会放松。另一位数学家乌瑞·崔斯曼(uri treisman)注意到,许多学生在加州大学伯克利分校的微积分课上不及格。经过调查,他发现成绩好的学生经常互相谈论数学并一起做作业,他称之为协作学习。根据崔斯曼的见解,学生一起讨论数学问题是有益的。即使你不是学生,也应该让数学成为一种共享体验,你需要学习一个基本的数学原理,然后教给别人。数学家建议家长翻阅小学或中学数学书,在线观看数学课程,然后辅导你的孩子,解决这些问题。“协作学习”可以提高你在数学中的“自我效能感”。通常,如果我们的数学成绩不好,我们的自我效能感很低,这种记忆会跟随你。重做作业、练习你现在擅长的数学或帮助他人学习都有助于使数学更有趣,减少焦虑。当然,克服数学焦虑并不意味着数学不难,也不意味着你会在一夜之间成为数学天才,重要的是你对数学经验的感受会发生变化。